資産運用 金融工学

【衝撃】レバレッジはリターンの中央値を下げる【金融工学】

投稿日:2020年10月13日 更新日:




 

前回の記事では株価がランダムな動きをすると仮定すると、株価が対数正規分布すると紹介しましした。

ではランダムな動きをする株にレバレッジを加えるとどうなるか見てみます。レバレッジを加えるETFにはS&P500のレバレッジ3倍ETFのSPXLなどがあります。

株価が「ある一定方向に動く」と「ランダムに変動する」という2つの性質をもつと仮定すると、ある時刻の株価は下のように表現できると紹介しました。

ここにL倍のレバレッジをかけたときの「資産」の変動は次の式で表せます。

この式の意味を図示したのが下の図です。資産は50%の確率で上がるか下がるかしますが、L倍のレバレッジが加わっているので上げ幅と下げ幅がレバレッジなし(L=1)よりも大きくなることが分かります。

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こうやって株価は時間が経つにつれてちょこちょこ動く。その株価の分布は対数正規分布をとることが分かります。そしてその分布の平均と分散も分かります。平均とリターンの数式を見て分かるように式の中に時間が入っています。だから平均と分散は時間に依存します。

レバレッジがある場合とない場合で対数正規分布の平均値・分散・中央値はどう違うか?それをまとめたのが下の表です。

横に並べるだけではなく、レバレッジある場合がない場合より何倍大きくなるかを示したのが下の表です。

これをどのように解釈するか?

平均値はシンプルです。1年後の平均値を計算すると、レバレッジありの平均値はレバレッジなしのL倍になります。ただし2年目以降は複利の効果が効いてきて平均値はL倍よりも大きくなります。

分散もシンプルです。式はややこしいですが、Lは1よりも大きいと仮定しているので、Lが大きいほど分散も大きくなります。

最後に中央値を見ます。中央値の式を見るとexp()の中身がLの2次関数になることが分かります。つまりLに対して放物線を描くということです。言い換えると中央値はLがある値の時に最大となる。

過去の米国株式インデックスを参考に収益率7%・標準偏差20%としてLに対する平均値と中央値をプロットしてみたのが下のグラフです。

中央値はL=1.75のときに最大値をとることが分かります。平均値はレバレッジを大きくすればするほど大きくなるが、中央値はレバレッジを1.75倍以上にすると小さくなる。

つまりこういうことです。レバレッジをかけると資産価値の対数正規分の端っこのほうが立ち上がってくる。その結果、高いリターンを得る確率が大きくなるためにリターンの平均値も大きくなる。レバレッジを高めるほど、そんな「一握りの」高リターンのためがますます平均値が引き上げる。だからレバレッジが大きいほど中央値が下がる。

これは平均年収の統計データと似ていますね。平均年収400万円と公表されても、実はとびきりの高所得者が平均を引き上げているだけで、多くの人はそれを実感していない。だから「平均値だけの公表は意味なし。平均じゃなくて中央値を出せ。」となる。

 

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というわけでまとめると、

レバレッジを大きくするほど

(1) リターンの平均値は大きくなる。

(2) リスクも大きくなる。

(3) 中央値はある閾値を超えると小さくなる。

(3)は意外でした。中央値が下がるというのは盲点です。

上の例でみたように米国株式指数であれば1.75倍を超えるレバレッジをかけると中央値は減るし、ましてや3倍レバレッジの中央値はレバレッジ0.5倍と同じなんです。

最後に中央値が時間経過とともにどのように変化するかを示したのが下のグラフです。

どのケースでも中央値は時間経過とともに上昇します。でも3倍レバレッジはレバレッジなしよりも中央値の上昇率は下がるのです。

 

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そういえば昔読んだ「ライフサイクル投資術」には「レバレッジかけるならせめて2倍にしろ。年取ればとるほどレバレッジは下げていけ。」と書いていました。

S&P500で考えると「レバレッジ2倍」は中央値を最大化する閾値にまあまあ近く悪い値ではないです。そして「時間が経つほどレバレッジを下げろ」という指摘も、時間経過ともに中央値が下がる傾向への対策もとれている投資法だと思います。

だからレバレッジをかけるならライフサイクル投資術に沿ったやり方をとるのがいいかもしれませんね。レバレッジ3倍でも短期勝負ならいいでしょう。

でも長期でレバレッジ3倍は危険すぎて私ならやらない ww リスクが3倍というだけでなく、中央値の上昇率がレバレッジなしよりも低い点が致命的でリスクの割に合わないと考えます。

 

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参考:

「ライフサイクル投資術」で現代ポートフォリオ理論に言及していなかった気がしますが。それでも「レバレッジやるなら2倍」は絶妙なところを突いてきているなと思います。

【レビュー】ライフサイクル投資術を図解しながら読み解いていく

現代ポートフォリオ理論をまとめた記事を書いています。

インデックス投資やるなら知っておくべき | 現代ポートフォリオ理論を分かりやすく解説

【教養】【現代ポートフォリオ理論】「分散投資でリスクを下げる」の本質

なぜ全てのリスク資産の時価総額加重平均が最適なポートフォリオなのか?その理由と理論的背景。

 

さらに噛み砕いた説明:

なぜS&P500に3倍レバレッジをかけて中央値が下がることが問題なのか?の定量的な説明【SPXL】

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-資産運用, 金融工学

執筆者:


  1. アバター 黒田順之助 より:

    コレは面白いデータですね。
    実は私、JrニーサはSPXLを買っているんですよ。
    次から二倍のレバにしようかな。
    あと、超当たり前だけどJrニーサの資金は口座名義人の資産なんですよ。
    払うのは親なのに・・(証券会社に確認済み)
    上手く運用出来て数千万に成った暁に
    お金有難う!じゃあ、さようなら!!とか言われたら
    あ、ハイ。どうぞ、お元気で・・って。チーンww

    • chandra11 chandra11 より:

      コメントありがとうございます。

      あくまで現代ポートフォリオ理論の枠組みで考えるとレバレッジ3倍は高すぎるというの個人的な意見です。2倍程度が妥当かと。
      コロナ暴落のように(今から思い返せばですが)確実に株価が上がるタイミングで3倍レバレッジでぶち込んでおいて売りぬくという短期決戦なら3倍も有効かもしれませんね。
      Jrニーサって撤廃されるんではなかったでしたっけ?

  2. アバター トマト より:

    超良記事でした。ありがとうございます。
    結論をみるとレバレッジ1.75倍(実際は2倍しかないですが)かけての長期投資も、積極的に考えた方がいいのでしょうか?分散が大きい以外のデメリットはないでしょうか?

    • chandra11 chandra11 より:

      コメントありがとうございます。

      リスクとリターンが決まっているポートフォリオには最適なレバレッジがあるというのが私の理解です。従って分散が大きくなることに目をつぶれば、1.75倍のレバレッジが最適な戦略となると思っています。ただし厳密にいえばレバレッジをかけるのに手数料がかかるはずなので、手数料も考慮したトータルリターンを考えるべきかと思います。参考になれば幸いです。

  3. アバター msft より:

    「ただし2年目以降は複利の効果が効いてきて平均値はL倍よりも大きくなります。」
    とありますが、SXPLはDailyなので「二日目以降は複利の効果が効いてきて〜」になるのではないでしょうか。

    • chandra11 chandra11 より:

      コメントありがとうございます。

      >「二日目以降は複利の効果が効いてきて〜」になるのではないでしょうか。

      厳密にいえばそれが正しいです。ですが、年間平均リターンで議論しているので年単位(つまり、「2年目以降~」)の書き方にして話に統一性を持たせるようにしています。

  4. アバター Chapter11 より:

    非常に示唆に富む内容でした。ありがとうございます。
    1.75の比率を算出される際に、SP500の過去平均リターン7%を用いられていますが、仮に5%を適用した際には1.75が変動するものでしょうか。すみません、数式を追う力がなく、リターンの設定が1.75にどのような影響を与えるのか考えることができませんでした。。。個人的には今後のSP500の成長が鈍化すると考えていて、その結果の最適レバレッジをお伺いしたいという趣旨です。

    • chandra11 chandra11 より:

      コメントありがとうございます。
      リスクを20%のままにしてリターンだけを5%に下げた場合、最適レバレッジは1.25です。

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都内在住の30代前半サラリーマンです。このブログではインデックス投資の利点、運用成績、運用シミュレーションや金融工学の記事を公開していきます。

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