前回の記事では株価がランダムな動きをすると仮定すると、リターンの確率分布が対数正規分布に従うと紹介しましした。
ではランダムな動きをする株にレバレッジを加えるとどうなるか見てみます。レバレッジを加えるETFにはS&P500のレバレッジ3倍ETFのSPXLなどがあります。
株価が「ある一定方向に動く」と「ランダムに変動する」という2つの性質をもつと仮定すると、ある時刻の株価は下のように表現できます。
ここにL倍のレバレッジをかけたときの「資産」の変動は次の式で表せます。
この式の意味を図示したのが下の図です。資産は50%の確率で上がるか下がるかしますが、L倍のレバレッジが加わっているので上げ幅と下げ幅がレバレッジなし(L=1)よりも大きくなることが分かります。
こうやって株価は時間が経つにつれてちょこちょこ動く。その分布は対数正規分布をとることが分かります。そしてその分布の平均と分散も分かります。平均とリターンの数式を見て分かるように式の中に時間が入っています。だから平均と分散は時間に依存します。
レバレッジがある場合とない場合で対数正規分布の平均値・分散・中央値はどう違うか？それをまとめたのが下の表です。
横に並べるだけではなく、レバレッジある場合がない場合より何倍大きくなるかを示したのが下の表です。
これをどのように解釈するか？
平均値はシンプルです。1年後の平均値を計算すると、レバレッジありの平均値はレバレッジなしのL倍になります。ただし2年目以降は複利の効果が効いてきて平均値はL倍よりも大きくなります。
分散もシンプルです。式はややこしいですが、Lは1よりも大きいと仮定しているので、Lが大きいほど分散も大きくなります。
最後に中央値を見ます。中央値の式を見るとexp()の中身がLの2次関数になることが分かります。つまりLに対して放物線を描くということです。言い換えると中央値はLがある値の時に最大となる。
過去の米国株式インデックスを参考に収益率7%・標準偏差20%としてLに対する平均値と中央値をプロットしてみたのが下のグラフです。
中央値はL=1.75のときに最大値をとることが分かります。平均値はレバレッジを大きくすればするほど大きくなるが、中央値はレバレッジを1.75倍以上にすると小さくなる。
つまりこういうことです。レバレッジをかけると資産価値の対数正規分の端っこのほうが立ち上がってくる。その結果、高いリターンを得る確率が大きくなるためにリターンの平均値も大きくなる。レバレッジを高めるほど、そんな「一握りの」高リターンのためがますます平均値が引き上げる。だからレバレッジが大きいほど中央値が下がる。
中央値の定義を再確認します。中央値はデータを小さい値から順に並べたときにちょうど真ん中にくる値です。
つまりリターンの分布の中央値とは「中央値以上になる確率は50%」である値のこと。「中央値が下がる」とは、「高リターンを得る確率が下がる」ことを意味しています。
これは平均年収の統計データと似ていますね。平均年収400万円と公表されても、実はとびきりの高所得者が平均を引き上げているだけで、多くの人はそれを実感していない。
だから「平均値だけの公表は意味なし。平均じゃなくて中央値を出せ。」となる。よくネットで荒れるやつです。
というわけでまとめると、
レバレッジを大きくするほど
(1) リターンの平均値は大きくなる。
(2) リスクも大きくなる。
(3) 中央値はある閾値を超えると小さくなる。
(3)は意外でした。中央値が下がるというのは盲点です。
上の例でみたように米国株式指数であれば1.75倍を超えるレバレッジをかけると中央値は減るし、ましてや3倍レバレッジの中央値はレバレッジ0.5倍と同じなんです。
最後に中央値が時間経過とともにどのように変化するかを示したのが下のグラフです。
どのケースでも中央値は時間経過とともに上昇します。でも3倍レバレッジはレバレッジなしよりも中央値の上昇率は下がるのです。
そういえば昔読んだ「ライフサイクル投資術」には「レバレッジかけるならせめて2倍にしろ。年取ればとるほどレバレッジは下げていけ。」と書いていました。
S&P500で考えると「レバレッジ2倍」は中央値を最大化する閾値にまあまあ近く悪い値ではないです。そして「時間が経つほどレバレッジを下げろ」という指摘も、時間経過ともに中央値が下がる傾向への対策もとれている投資法だと思います。
だからレバレッジをかけるならライフサイクル投資術に沿ったやり方をとるのがいいかもしれませんね。レバレッジ3倍でも短期勝負ならいいでしょう。
でも長期でレバレッジ3倍は危険すぎて私ならやらない 。リスクが3倍というだけでなく、時間経過に伴う中央値の上昇率がレバレッジなしよりも低い点が致命的で、とるリスクが割に合わないと感じるからです。
ちなみに3倍レバレッジをかけると、レバなしより元本合割れ確率が高くなります。しかも長期で投資しても元本割れ確率の低下は鈍い。この点は別記事で紹介していますが、やはり3倍レバレッジが危険だと私が感じる要素の一つです。
追記：
(1) 読者様のリクエストに応じて少し噛み砕いた説明を追加しました。
ポイントだけ引用：
異常に高いリターンがたった数%でも平均値としては高い値が出てしまうので、安易に平均値だけを比較して投資するべきではないと思っています。・・・
平均値は指標のひとつに過ぎないというのが私の考えです。見るべきは「確率分布」で、その形状を理解する指標が平均値と中央値です。
(2) ポートフォリオの最適なリスク資産の割合は、以下の式で計算できます。
リスク資産の最適割合 = 最適レバレッジ比率 / 相対的リスク回避度
例えばS&P500であれば、リスク資産の最適割合 = 1.75 / 相対的リスク回避度 で計算できます。詳しくは過去記事参照。
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「ライフサイクル投資術」で現代ポートフォリオ理論に言及していなかった気がしますが。それでも「レバレッジやるなら2倍」は絶妙なところを突いてきているなと思います。
現代ポートフォリオ理論をまとめた記事を書いています。
さらに噛み砕いた説明：
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コレは面白いデータですね。
実は私、ＪｒニーサはＳＰＸＬを買っているんですよ。
次から二倍のレバにしようかな。
あと、超当たり前だけどＪｒニーサの資金は口座名義人の資産なんですよ。
払うのは親なのに・・（証券会社に確認済み）
上手く運用出来て数千万に成った暁に
お金有難う！じゃあ、さようなら！！とか言われたら
あ、ハイ。どうぞ、お元気で・・って。チーンｗｗ
コメントありがとうございます。
あくまで現代ポートフォリオ理論の枠組みで考えるとレバレッジ3倍は高すぎるというの個人的な意見です。2倍程度が妥当かと。
コロナ暴落のように（今から思い返せばですが）確実に株価が上がるタイミングで3倍レバレッジでぶち込んでおいて売りぬくという短期決戦なら3倍も有効かもしれませんね。
Jrニーサって撤廃されるんではなかったでしたっけ？
超良記事でした。ありがとうございます。
結論をみるとレバレッジ1.75倍(実際は2倍しかないですが)かけての長期投資も、積極的に考えた方がいいのでしょうか？分散が大きい以外のデメリットはないでしょうか？
コメントありがとうございます。
リスクとリターンが決まっているポートフォリオには最適なレバレッジがあるというのが私の理解です。従って分散が大きくなることに目をつぶれば、1.75倍のレバレッジが最適な戦略となると思っています。ただし厳密にいえばレバレッジをかけるのに手数料がかかるはずなので、手数料も考慮したトータルリターンを考えるべきかと思います。参考になれば幸いです。
「ただし2年目以降は複利の効果が効いてきて平均値はL倍よりも大きくなります。」
とありますが、SXPLはDailyなので「二日目以降は複利の効果が効いてきて〜」になるのではないでしょうか。
コメントありがとうございます。
＞「二日目以降は複利の効果が効いてきて〜」になるのではないでしょうか。
厳密にいえばそれが正しいです。ですが、年間平均リターンで議論しているので年単位（つまり、「2年目以降～」）の書き方にして話に統一性を持たせるようにしています。
非常に示唆に富む内容でした。ありがとうございます。
1.75の比率を算出される際に、SP500の過去平均リターン7%を用いられていますが、仮に5%を適用した際には1.75が変動するものでしょうか。すみません、数式を追う力がなく、リターンの設定が1.75にどのような影響を与えるのか考えることができませんでした。。。個人的には今後のSP500の成長が鈍化すると考えていて、その結果の最適レバレッジをお伺いしたいという趣旨です。
コメントありがとうございます。
リスクを20%のままにしてリターンだけを5%に下げた場合、最適レバレッジは1.25です。
レバレッジ型ETFを買っているのでとても興味深く拝見いたしました。
（昔習っているはずなのに・・）正直数式の意味することはよくわからなかったのですが、レバレッジ型は1.75倍の時が中央値が最も良さそうだということだけは理解できました。
その上で一つ疑問に思えたのは、例えばブル3倍は日々の値動きが3倍を目指しているということですが、実際のSPXとSPXLの値動きをプロットすると、近似式として
（SPXL変動率）=2.9164358×（SPX変動率）+0.0067838（R^2=0.9887390）
となり、実際のレバレッジは3倍よりも少し小さい傾向があること、何故か切片がプラスになる（SPXがマイナスでもSPXLはプラスになるケースが極わずかにある）傾向があるようでした。信託報酬は毎日引かれているので切片はマイナスになるものと予想していたのですが、TQQQやSOXLに関しても同様の傾向が見られました。
https://tochi-pechi.com/?p=17313
そこで伺いたいのは、これらの理論値と実際の変動率との誤差を踏まえた場合、最適値である1.75倍はどの程度変動する、ないしは影響は殆どないと考えられるのでしょうか？
コメントありがとうございます。
＞そこで伺いたいのは、これらの理論値と実際の変動率との誤差を踏まえた場合、最適値である1.75倍はどの程度変動する、ないしは影響は殆どないと考えられるのでしょうか？
SPXLの変動率がSPXの変動率にピッタリ3倍ではなく実際はわずかに乖離があるようですが、それとレバレッジ最適値が1.75倍であることに関係はありません。
別の記事に書いていますが、レバレッジ1.75倍を実際に作り出そうとすればSPDR (レバなし)とSPXL (レバ3倍)を10:6で混ぜればつくれます。
SPXLがピッタリ3倍の動きをしないなら、その比率が少し変わると思います。ですが、2.91倍の変動とのことなので、その比率の違いはゴミだと思います。
https://chandraroom.com/sp500-leverage-spdr-spxl-mix
大変すばらしい記事拝見させていただきました。
例えばTQQQ50％。TMF50%で保有している場合のレバレッジはどのように計算すべきでしょうか？
国債はマイナスのレバレッジとしてリスクを計算すべきでしょうか？
よろしくお願いいたします。
コメントありがとうございます。
TQQQとTMFそれぞれのリスク・リターンは何%でしょうか？
それが分かれば計算できます。
こんにちは。
間違っているかもしれないですが、トレーディングビューからデータをダウンロードして
計算したところTQQQが年リターン53.98％、リスクが33.54％。
TMFが年リターンが4.9％、リスクが11.6％です。
よろしくお願いいたします。
50%:50%で混ぜるならリターン：29.44%、リスク：22.57% です。足して2で割れば計算できます。
すみません、この計算結果は間違いでした。
修正版の新しい記事を出すことにします。
記事作成ありがとうございます。以下２点お伺いします。
①各年度の利率が分かるとき、μ、σはどのように算出すればよいでしょう？
正規分布を仮定して算術平均・分散を当てはめるのでしょうか。
②表に示された平均値は、μが大きいほど誤差が発生するでしょうか。
例えば、レバレッジなし／平均値のS0・exp(μt)という部分があります。
これは「dS/dt=S・μ」を積分した結果であり、その通りと思います。
実際の数値で考えると、例えばS0=100円、μ=10%のとき、1年後はS1=110円ですが、
計算式で考えると「S1=100・exp(10%）=110.52円」となり、0.52円ずれます。
こうなる理由は年利○%が年を最小単位とする一方、ドリフト項の積分が
連続時間で行われているためと理解したのですが、正しいでしょうか。
ご質問ありがとうございます。
＞①各年度の利率が分かるとき、μ、σはどのように算出すればよいでしょう？
正規分布を仮定して算術平均・分散を当てはめるのでしょうか。
その理解で正しいです。
具体的には以下の手順を踏んでいます。
(1)過去のデータを入手。
(2)1年間 (=365日)の株価上昇率を計算
(3)エクセルで正規分布をフィッティング。
②表に示された平均値は、μが大きいほど誤差が発生するでしょうか。
例えば、レバレッジなし／平均値のS0・exp(μt)という部分があります。
これは「dS/dt=S・μ」を積分した結果であり、その通りと思います。
実際の数値で考えると、例えばS0=100円、μ=10%のとき、1年後はS1=110円ですが、
計算式で考えると「S1=100・exp(10%）=110.52円」となり、0.52円ずれます。
こうなる理由は年利○%が年を最小単位とする一方、ドリフト項の積分が
連続時間で行われているためと理解したのですが、正しいでしょうか。
＞その理解で正しいです。
ズレは認識していて投資期間20年だとそれほど大きくずれなかったと記憶してます。
丁寧に回答頂き、ありがとうございます。
おかげさまで理解が深まりました。
レバレッジにかかる妥当なコストを考慮すると
米国株のリスク20、リターン7程度だと
最適レバレッジでも中央値上がらないと
思いますが、ちゃんドラさんはどう思いますか？
SPXLは経費率と金利で2%ぐらい
リターンを押し下げてるみたいです
リバランスでも課税コストがかかりますよね
コメントありがとうございます。
＞米国株のリスク20、リターン7程度だと
最適レバレッジでも中央値上がらないと
思いますが、ちゃんドラさんはどう思いますか？
検証ではコストはない前提としています。
コストを考える場合はリターンを調整すればよいと思います。
例えば年間のコストがリターンの1%であれば、リターンを6%とする。
すると、最適レバレッジの値が下がります。
「最適レバレッジでも中央値上がらない」というよりも、「最適レバレッジの値が下がる」が正しいと思います。
＞リバランスでも課税コストがかかりますよね
すみません、ここがよく分かりませんでした。
なぜリバランスが必要なのでしょうか？
最適レバレッジの商品は無いからです
SPDRとSPXLでバランスして作ると
ほっておくと比率がどんどんずれていって
リバランスが必要になると思います
リバランスすると含み益を一部失います
コスト無しのレバレッジ1倍と
コストをかけての最適レバレッジ
（コストでリターン6に下がったとして）
を比べるとどうなるんでしょうか？
＞最適レバレッジの商品は無いからです
SPDRとSPXLでバランスして作ると
ほっておくと比率がどんどんずれていって
リバランスが必要になると思います
リバランスすると含み益を一部失います
ありがとうございます。理解できました。
＞コスト無しのレバレッジ1倍と
コストをかけての最適レバレッジ
（コストでリターン6に下がったとして）
を比べるとどうなるんでしょうか？
分かりませんし、計算が煩雑になるのでシミュレーション予定もありません。
興味あれば計算してみてください。