金融工学

米国S&P500の3倍レバレッジ。リターン中央値・平均値の乖離を歪度で検証する。

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S&P500に3倍レバレッジを加えると中央値が下がると過去記事で書きました。

株価が幾何ブラウン運動に従って変動すると仮定した結果です。レバレッジをかければかけるほどリターンの平均は大きくなるんですが、逆に中央値は下がるんですね。直観に反しますが、これが数式から出した結果です。

言い換えるとレバレッジをかけるほど平均値と中央値は乖離していきます。それはリターンの分布を見れば分かりやすいです。下のグラフはS&P500に3倍レバレッジをかけて3年間運用したときのリターン分布。

グラフの右側に長い分布が見えます。このために平均値は大きくなるんです。ただしその実現確率は低い。だから一見、高いリターンが期待できると判断したくなるんですが、「ちょっと待て」となる。見るべきは中央値だろうと。

ところで、平均値と中央値の乖離を示す指標として「歪度」があります。歪度は (平均値 – 中央値) / (標準偏差)で表されます。歪度が大きいほどグラフは正規分布から崩れていき、平均値と中央値の乖離は大きくなります。

 

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S&P500 (リスク:20%、リターン:7%)のリターン平均値・中央値・分布歪度の時間推移を見てみます。

まずは平均値。明らかにレバレッジ3倍で平均値は最も大きいです。

次に中央値。レバレッジ1.75倍のときに最も大きい。これは過去記事で紹介済みです。

最後に歪度。レバレッジ3倍の歪度は最も大きい。時間経過とともに歪度はますます大きくなります。時間が経てば経つほど平均値と中央値の乖離のスピードは上がっていくということです。

 

歪度という指標で平均値・中央値の乖離を見てみました。3倍レバレッジでは時間が経つにつれて乖離がますます加速するのが分かりました。

 

参考:

米国S&P500の最適なレバレッジが1.75倍の理由。だからSPXLの3倍は高すぎる

 

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