金融工学

ギャンブルで負け続けるやつは負け続けることを示す逆正弦法則とは?

投稿日:2021年7月30日 更新日:

 




 

ギャンブルに関する直観に反した結果。それが逆正弦法則。

コイン投げゲームをするとします。

コインを投げて表が出れば+1点もらえて、裏が出れば-1点というルールです。表が出る確率は1/2。裏が出る確率も1/2です。

このゲームを何回も続けて、点数がゼロより大きい勝ち越しにある期間と、点数がマイナスの負け越しにある期間を調べるとどうなるか?

下のグラフは横軸を勝ち越し率 (勝ち越した期間 / コイン投げを続けた期間)を横軸に、縦軸に確率をプロットしたもの。

これを見ると、勝ち越し率が1(勝ちまくる)確率と勝ち越し率がゼロ(負けまくり)の二極化することが分かります。

極端な言い方をすれば、コイン投げのような結果がランダムなギャンブルを何回も繰り返すと、負け組と勝ち組に二極化するということなんです。

上に示した勝ち越し率の数式はサイン関数の逆関数なので「逆正弦法則」と呼ばれています。これはナカナカ面白いですね ww

 

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ちなみに逆正弦関数を積分した結果が下の図です。横軸は勝ち越し率、縦軸はその勝ち越し率以下となる確率です。

例えば勝ち越し率が10%以下となる確率と勝ち越し率が90%以上となる確率は、共にそれぞれ20%近くあります。

さらに、勝ち越し率20%以下と勝ち越し率80%以上となる確率はそれぞれ30%。つまりゲームをすれば60%の確率で勝ち越し率20%以下か80%以上に入るんです。

勝ち越し率50%の確率がなんとなく高そうですが、そうではないことが数式で証明できるんですね。これは面白いですよ。

数式を知りたい方はコチラを参照

 

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